Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，E為棱CC₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ） 求三棱錐A-BDE的體積；
（Ⅱ） 求證：B₁D₁⊥AE；
（Ⅲ） 求證：AC∥平面B₁DE．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵EC⊥平面ABD，
∴V=CE．S_ABD=…4分
證明：（Ⅱ）連接A₁C₁，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中
B₁D₁⊥A₁C₁，B₁D₁⊥CC₁，A₁C₁∩CC₁=C₁
∴B₁D₁⊥面A₁C₁CA，
AE?面A₁C₁CA
∴B₁D₁⊥AE…8分
（Ⅲ）證法一：連接AC₁，取AC₁的中點(diǎn)為H，取AC的中點(diǎn)O，連接HO，
∵HO∥EC且HO=EC
∴四邊形HOCE為平行四邊形，OC∥HE即AC∥HE---------13’
連接BD₁，易知四邊形A₁BCD₁為平行四邊形，則H為BD₁和A₁C的交點(diǎn)
∴HE?平面B₁DE
AC?平面B₁DE
AC∥平面B₁DE…12分
證法二：延長BC與B₁E延長線交于F，連DF∵E為棱CC₁中點(diǎn)
∴△B₁C₁E≌△FCE
∴CF=C₁B₁=CB
∴CF∥AD且CF=AD
∴ADFC為平行四邊形
∴AC∥DF∵AC?平面B₁DE
DF?平面B₁DE
∴AC∥平面B₁DE…12分．
分析：（I）根據(jù)正方體的幾何特征，我們易得三棱錐A-BDE的體積等于三棱錐E-ABD，根據(jù)已知中正方體的棱長AA₁=2，E為棱CC₁的中點(diǎn)，求分三棱錐的底面積和高，即可得到三棱錐A-BDE的體積；
（Ⅱ） 連接A₁C₁，根據(jù)正方形對角線互相平分可得B₁D₁⊥A₁C₁，由正方體的幾何特征可得B₁D₁⊥CC₁，進(jìn)而由線面垂直的判定定理得到B₁D₁⊥面A₁C₁CA，再由線面垂直的性質(zhì)定理得到B₁D₁⊥AE；
（Ⅲ） 證法一：連接AC₁，取AC₁的中點(diǎn)為H，取AC的中點(diǎn)O，連接HO，根據(jù)平行四邊形判定定理可得四邊形HOCE為平行四邊形，則AC∥HE，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理得到AC∥平面B₁DE；
證法二：延長BC與B₁E延長線交于F，連DF，根據(jù)三角形全等的判定定理可得△B₁C₁E≌△FCE，進(jìn)而證得ADFC為平行四邊形，則AC∥DF，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理得到AC∥平面B₁DE．
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面垂直的性質(zhì)，棱錐的體積，直線與平面平行的判定，（I）的關(guān)鍵是利用等體積法，將求三棱錐A-BDE的體積轉(zhuǎn)化為求三棱錐E-ABD，（II）的關(guān)鍵是熟練掌握線面垂直的判定及性質(zhì)定理，（III）的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到與AC平行的直線，創(chuàng)造使用線面平行判定定理的條件．