Question

12．已知函數(shù)f（x）=|x²-2x+a-1|-a²-2a．
（1）當(dāng)a=3時，求f（x）≥-10的解集；
（2）若f（x）≥0對x∈R恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出a=3時，f（x）的解析式，去掉絕對值，運(yùn)用二次不等式的解法，即可得到所求解集；
（2）由題意可得|x²-2x+a-1|-a²-2a≥0對x∈R恒成立，即有|（x-1）²+a-2|-a²-2a≥0對x∈R恒成立．再討論a-2≤0和a-2＞0，可得a的不等式，解不等式求交集，即可得到所求a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=3時，f（x）=|x²-2x+2|-15，
由x²-2x+2＞0恒成立，則f（x）=x²-2x-13，
由f（x）≥-10，可得x²-2x-3≥0，
解得x≥3或x≤-1，
即f（x）≥-10的解集為{x|x≥3或x≤-1}；
（2）f（x）≥0對x∈R恒成立，
即為|x²-2x+a-1|-a²-2a≥0對x∈R恒成立，
即有|（x-1）²+a-2|-a²-2a≥0對x∈R恒成立．
當(dāng)a-2≤0即a≤2時，只需a²+2a≤0，即-2≤a≤0；
當(dāng)a-2＞0，即a＞2時，只需a²+2a≤a-2，即a²+a+2≤0，
由判別式△=1-4×2＜0，可得不等式無實(shí)數(shù)解．
綜上可得，a的取值范圍是[-2，0]．

點(diǎn)評 本題考查含絕對值的不等式的解法，不等式恒成立問題的解法，考查絕對值的含義和配方法、分類討論的思想方法，以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．