各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中,Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,對(duì)任意n∈N*,都有2Sn=2an2+an
(Ⅰ)求a1的值;
(Ⅱ)求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列;
(Ⅲ)若bn=
4Snn+1
2n
,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn
分析:(1)由于a1=S1,則2a1=2S1=2a12+a1,解得即可;
(2)由于2Sn=2an2+an,再利用an=
S1,n=1 
Sn-Sn-1,n≥2
和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即得證;
(3)利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
解答:解:(1)∵2Sn=2an2+an
令n=1,得2a1=2S1=2a12+a1,解得a1=
1
2

(2)當(dāng)n≥2時(shí),由2Sn=2an2+an,2Sn-1=2an-12+an-1,
得2an=(2an2+an)-(2an-12+an-1
∴(an+an-1)(2an-2an-1-1)=0,
∵?n∈N*,an>0,∴an-an-1=
1
2
,
∴數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列,
(3)由(2)知an=
1
2
+(n-1)×
1
2
=
1
2
n.
Sn=an2+
1
2
an=(
1
2
n)
2
+
1
2
×
1
2
n=
n(n+1)
4

由于bn=
4Sn
n+1
2n
=n•2n,
則Tn=1•21+2•22+3•23+…+n•2n                 ①
2Tn=2(1•21+2•22+3•23+…+n•2n
=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1                  ②
①-②得-Tn=1•21+1•22+1•23+…+1•2n-n•2n+1
=
2(1-2n)
1-2
-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1

故Tn=(n-1)•2n+1+2.
點(diǎn)評(píng):熟練掌握利用an=
S1,n=1 
Sn-Sn-1,n≥2
求an和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、錯(cuò)位相減法求和等是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)單調(diào)遞增函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),且對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x,y有f(xy)=f(x)+f(y),且f(
1
2
)=-1

(1)一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足:f(sn)=f(an)+f(an+1)-1其中Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)在(1)的條件下,是否存在正數(shù)M使下列不等式:2n•a1a2…an≥M
2n+1
(2a1-1)(2a2-1)…(2an-1)
對(duì)一切n∈N*成立?若存在,求出M的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中,a1=1,Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,對(duì)任意n∈N,有2Sn=2p
a
2
n
+pan-p(p∈R).
(1)求常數(shù)p的值;
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn,an,
1
2
成等差數(shù)列,
(1)求a1,a2的值;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)若bn=4-2n(n∈N*),設(shè)cn=
bn
an
,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且點(diǎn)(an,Sn)在函數(shù)y=
1
2
x2+
1
2
x-3
的圖象上,
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)記bn=nan(n∈N*),求證:
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
3
4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2008•長寧區(qū)二模)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn滿足s1>1,且6sn=(an+1)(an+2)(n為正整數(shù)).
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=
an,n為偶數(shù)
2an,n為奇數(shù)
,求Tn=b1+b2+…+bn;
(3)設(shè)Cn=
bn+1
bn
,(n為正整數(shù))
,問是否存在正整數(shù)N,使得n>N時(shí)恒有Cn>2008成立?若存在,請(qǐng)求出所有N的范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案