Question

已知m＞1，直線l：x-my-=0，橢圓C：+y²=1，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)直線l過右焦點(diǎn)F₂時(shí)，求直線l的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，△AF₁F₂，△BF₁F₂的重心分別為G、H．若原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）把F₂代入直線方程求得m，則直線的方程可得．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線與橢圓方程聯(lián)立消去x，根據(jù)判別式大于0求得m的范圍，且根據(jù)韋達(dá)定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，根據(jù)，=2，可知G（，），h（，），表示出|GH|²，設(shè)M是GH的中點(diǎn)，則可表示出M的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)2|MO|＜|GH|整理可得x₁x₂+y₁y₂＜0把x₁x₂和y₁y₂的表達(dá)式代入求得m的范圍，最后綜合可得答案．
解答：解：（Ⅰ）解：因?yàn)橹本�l：x-my-=0，經(jīng)過F₂（，0），
所以=，得m²=2，
又因?yàn)閙＞1，所以m=，
故直線l的方程為x-y-1=0．
（Ⅱ）解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由，消去x得
2y²+my+-1=0
則由△=m²-8（-1）=-m²+8＞0，知m²＜8，
且有y₁+y₂=-，y₁y₂=-．
由于F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），故O為F₁F₂的中點(diǎn)，
由，=2，可知G（，），H（，）
|GH|²=+
設(shè)M是GH的中點(diǎn)，則M（，），
由題意可知2|MO|＜|GH|
即4[（）²+（）²]＜+即x₁x₂+y₁y₂＜0
而x₁x₂+y₁y₂=（my₁+）（my₂+）+y₁y₂=（m²+1）（）
所以（）＜0，即m²＜4
又因?yàn)閙＞1且△＞0
所以1＜m＜2．
所以m的取值范圍是（1，2）．
點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．