Question

如圖所示，O為△ABC的外心，以線段OA、OB為鄰邊作平行四邊形，第四個(gè)頂點(diǎn)為D，再以O(shè)C、OD為鄰邊作平行四邊形，它的第四個(gè)頂點(diǎn)為H．

（1）若=a, =b, =c．=h,試用a、b、c表示h;

（2）證明：⊥；

（3）若△ABC中的∠A=60°,∠B=45°，外接圓的半徑為R，用R表示|h|．

Answer 1

解：（1）由題意知+=，?=+，故=++，即h=a+b+c.

（2）=-=a+b+c-a=b+c，?=-=c-b.?則·=（b+c）（c-b）=c²-b².?又||=||=||，故|c|=|b|，即c²=b².?∴·=0，即?AH⊥BC.?

（3）∠A=60°，∠BOC=2∠A=120°，故在△BOC中，由余弦定理有?||²=||²+||²-2||·||·cos120°=3R²，即||=R.?同理||=R，且∠AOC=2∠B=90°，則∠AOB=2∠C=150°.?∴a·c=|a||b|·cos150°=-R².?又∵∠AOC=90°，?∴a·c=0，b·c=|b|·|c|·cos120°=-R².?∴|h|====.?∴|h|=R，即|h|為R.