Question

（2010•江西模擬）已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A為拋物線上異于原點(diǎn)O的任意一點(diǎn)，過A作直線垂直y軸于B，OB的中點(diǎn)為M，則直線AM一定經(jīng)過△ABF的（　　）

A．重心

B．外心

C．內(nèi)心

D．垂心

Answer 1

分析：根據(jù)題意作出圖形，如圖，設(shè)AB與準(zhǔn)線交于點(diǎn)H，AB與x軸交于點(diǎn)C，利用三角形全等得出AB=CO，∠BAM=∠OCM，再根據(jù)拋物線的定義得：AF=AH，從而得到∠CAF=∠OCM，∠CAF=∠BAM，即AM是△ABF的內(nèi)角平分線，最后得出直線AM一定經(jīng)過△ABF的內(nèi)心．

解答：解：如圖，設(shè)AB與準(zhǔn)線交于點(diǎn)H，AB與x軸交于點(diǎn)C，
由于M是BO的中點(diǎn)，得Rt△ABM≌Rt△COM，
∴AB=CO，∠BAM=∠OCM，
根據(jù)拋物線的定義得：AF=AH，而AH=AB+BH=CO+BH，
其中BH=OF=

p

2

，
∴AH=CO+OF=CF，
∴AF=CF，⇒∠CAF=∠OCM，
∴∠CAF=∠BAM，即AM是△ABF的內(nèi)角平分線，
則直線AM一定經(jīng)過△ABF的內(nèi)心．
故選C．

點(diǎn)評：本小題主要考查拋物線的簡單性質(zhì)、三角形五心、三角形全等等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．