Question

已知橢圓．
（1）求過點(diǎn)且被點(diǎn)P平分的弦所在直線的方程；
（2）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；
（3）過點(diǎn)A（2，1）引直線與橢圓交于B、C兩點(diǎn)，求截得的弦BC中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

解：（1）設(shè)過點(diǎn)且被點(diǎn)P平分的弦與橢圓交與A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）點(diǎn)，
則=，=
∵A，B在橢圓上，∴①②
②-①得，
=-
即，弦AB的斜率為-
∴方程為y-=-（x-）
即
（2）設(shè)斜率為2的平行弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
則根據(jù)中點(diǎn)弦的斜率公式，有-=2

（3）當(dāng)過點(diǎn)A（2，1）引的直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y-1=k（x-2），
代入橢圓方程，消y，得（+k²）x²+2（1-2k）kx+4k²-4k=0
∴x₁+x₂=，y₁+y₂=，
設(shè)弦BC中點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則x==，y==，
∴=-2k
又∵k=，∴，整理得x²-2x+2y²-2y=0
當(dāng)過點(diǎn)A（2，1）引的直線斜率不存在時(shí)，方程為x=2，與橢圓無交點(diǎn)
∴所求弦BC中點(diǎn)的軌跡方程為x²-2x+2y²-2y=0．
分析：（1）設(shè)出兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)在橢圓上，代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法，求斜率，再代入直線的點(diǎn)斜式方程即可．
（2）同（1）類似，設(shè)出這一系列的弦與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法，求斜率，再讓斜率等于2，化簡，即可得斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程．
（3）設(shè)出直線BC方程，用參數(shù)k表示，，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，消去k，即可得弦BC中點(diǎn)的軌跡方程．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了點(diǎn)差法求中點(diǎn)弦的斜率，屬于圓錐曲線的常規(guī)題．