Question

4．已知函數(shù)f（x）=cos2x+2sin²x+2sinx．
（1）將函數(shù)f（2x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位得到函數(shù)g（x）的圖象，若$x∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$，求函數(shù)g（x）的值域；
（2）已知a，b，c分別為銳角三角形ABC中角A，B，C的對邊，且滿足b=2，f（A）=$\sqrt{2}+1，\sqrt{3}$a=2bsinA，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）先利用二倍角和輔助角公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，根據(jù)三角函數(shù)平移變換的規(guī)律，求解出g（x），$x∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$時，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到f（x）的值域．
（2）利用f（A）=$\sqrt{2}+1，\sqrt{3}$a=2bsinA，b=2，求出角A和a的大小，可得求△ABC的面積．

解答 解：函數(shù)f（x）=cos2x+2sin²x+2sinx=cos2x+（1-cos2x）+2sinx=1+2sinx，
（1）函數(shù)f（2x）=1+2sin2x的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位得到函數(shù)g（x）=1+2sin2（x$-\frac{π}{6}$）．
∴$g（x）=2sin（{2x-\frac{π}{3}}）+1$，
∵$x∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$，
∴$2x-\frac{π}{3}∈[{-\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$，
當(dāng)$x=\frac{π}{12}$時，g（x）_min=0；
當(dāng)$x=\frac{5}{12}π$時，g（x）_max=3
∴函數(shù)g（x）的值域為[0，3]．
（2）由已知$\sqrt{3}a=2bsinA$及正弦定理得：$\sqrt{3}sinA=2sinBsinA$，
∴$sinB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∵$0＜B＜\frac{π}{2}$，
∴$B=\frac{π}{3}$，
由$f（A）=\sqrt{2}+1$可得$sinA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，從而$A=\frac{π}{4}$
由正弦定理得：$a=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×\frac{{2\sqrt{6}}}{3}×2×\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}=\frac{{3+\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡和平移變換是解決本題的關(guān)鍵．同時考查了正弦定理的運用．屬于中檔題．