Question

12．已知函數(shù)F（x）=lnx（x＞1）的圖象與函數(shù)G（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，若函數(shù)f（x）=（k-1）x-G（-x）無零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． （1-e，1）
• B． （1-e，∞）
• C． （1-e，1]
• D． （-∞，1-e）∪[1，+∞）

Answer 1

分析 求出函數(shù)G（-x）的解析式，利用函數(shù)f（x）=（k-1）x-G（-x）無零點(diǎn)，得到兩個函數(shù)的圖象沒有公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：函數(shù)F（x）=lnx（x＞1）的圖象與函數(shù)G（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，
可得G（x）=e^x，（x＞0），
則G（-x）=e^-x，（x＜0），
函數(shù)f（x）=（k-1）x-G（-x）無零點(diǎn)，
即f（x）=（k-1）x-e^-x，沒有零點(diǎn)，也就是y=（k-1）x，與y=e^-x，（x＜0），
沒有公共點(diǎn)．
y′=-e^-x，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為：（m，e^-m），
可得：k-1=-e^-m=$\frac{{e}^{-m}}{m}$，解得m=-1，
此時(shí)k=1-e，
函數(shù)f（x）=（k-1）x-G（-x）無零點(diǎn)，則k＞1-e．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)以及方程根的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．