Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，在（-∞，-1），（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（-1，2）上單調(diào)遞減，當(dāng)且僅當(dāng)x＞4時．f（x）＞x²-4x+5=g（x）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)y=m與函數(shù)f（x），g（x）的圖象共有3個交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，確定-1和2是兩個極值點(diǎn)，從而確定條件關(guān)系求出參數(shù)a，b，c．
（2）求出函數(shù)f（x），g（x）的極大值和極小值，結(jié)合圖象，確定實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)在（-∞，-1），（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（-1，2）上單調(diào)遞減，所以-1，2是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，即-1，2是f'（x）=0的兩個根，
因?yàn)閒'（x）=3x²+2ax+b，所以由根與系數(shù)之間的關(guān)系得．
所以．
令，則H'（x）=3x²-5x-2=（3x+1）（x-2），
所以函數(shù)H（x）在（-∞，），（2，+∞）上為增函數(shù)，在（）上為減函數(shù)，故，解得c=-11．
所以此時．
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103173533952905467/SYS201311031735339529054020_DA/7.png">，則，
故當(dāng)-21＜m＜-時，直線y=m與函數(shù)f（x）的圖象有3個交點(diǎn)，與g（x）的圖象沒有交點(diǎn)．
又g（x）=x²-4x+5=（x-2）²+1≥1，故當(dāng)m＞1時，直線y=m與g（x）的圖象有2個交點(diǎn)，與f（x）的圖象有1個交點(diǎn)，
又f（4）=g（4）=5，故當(dāng)1＜m＜5或m＞5時，直線y=m與函數(shù)f（x），g（x）的圖象共有3個交點(diǎn)，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍．
點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值的關(guān)系．對應(yīng)兩個函數(shù)圖象的相交問題，要利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想去解決，一般是通過確定函數(shù)的極值點(diǎn)和最值點(diǎn)來確定滿足條件的范圍．