Question

已知函數(shù)f（x）=

4

x

+x．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明；
（2）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：f（x）在區(qū)間（0，2）上是減函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．運(yùn)用定義，求出定義域，再計(jì)算f（-x），與f（x）比較，即可得到奇偶性；
（2）運(yùn)用單調(diào)性的定義證明，注意取值、作差、變形、定符號、下結(jié)論幾個(gè)步驟．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．　                    
證明：定義域?yàn)閧x|x≠0}關(guān)于原點(diǎn)對稱，
且f（-x）=-x-

4

x

=-（x+

4

x

）=-f（x），
則f（-x）=-f（x），
故f（x）是奇函數(shù)；                            
（2）證明：設(shè)m，n是（0，2）上的兩個(gè)任意實(shí)數(shù)，且m＜n，
f （n）-f （m）=

4

n

+n-（

4

m

+m）                          
=

(n-m)(mn-4)

mn

，由于m，n∈（0，2）且m＜n，則n-m＞0，mn-4＜0                         
則f（n）-f（m）＜0，
則f（x）在區(qū)間（0，2）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷，考查函數(shù)的單調(diào)性的證明，注意運(yùn)用定義，屬于基礎(chǔ)題．