Question

1．已知函數(shù)f_K（x）的定義域為實數(shù)集R，滿足${f_K}（x）=\left\{{\begin{array}{l}{1，x∈K}\\{0，x∉K}\end{array}}\right.$（K是R的非空真子集），若在R上有兩個非空真子集M，N，且M∩N=∅，則$F（x）=\frac{{{f_M}（x）+{f_N}（x）+1}}{{{f_{M∪N}}（x）+1}}$的值域為{1}．

Answer 1

分析 對F（x）中的x屬于什么集合進行分類討論，利用題中新定義的函數(shù)求出f（x）的函數(shù)值，從而得到F（x）的值域即可．

解答 解：當x∈（M∪N）時，f_M∪N（x）=1，而由于M∩N=φ，所以f_M（x）+f_N（x）=1，此時F（x）=1；
當x∉（M∪N）時，f_M∪N（x）=0，f_M（x）=f_N（x）=0，此時F（x）=1，
∴函數(shù)F（x）的值域為{1}．
故答案為{1}．

點評 本題主要考查了函數(shù)的值域、分段函數(shù)，解答關(guān)鍵是對于新定義的正確理解，屬于創(chuàng)新型題目．