Question

如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1中點(diǎn).

（1）求證：AB1⊥面A1BD；

（2）求二面角A－A1D－B的余弦值；

（3）求點(diǎn)C到平面A1BD的距離.

 

 

Answer 1

（1）證明過程見解析；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720085050218032/SYS201411172008582368409684_DA/SYS201411172008582368409684_DA.012.png">軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，寫出坐標(biāo)，進(jìn)而得出向量坐標(biāo)，利用向量垂直時(shí)坐標(biāo)關(guān)系可證明，，可得平面；（2）令平面的法向量為，則，可得一法向量，由（1）為平面的法向量,那么二面角的余弦值即為，；（3）可求，．為平面的法向量,所以C到平面A1BD的距離.

 

【解析】
（1）取中點(diǎn)，連結(jié)．為正三角形，,

在正三棱柱中，平面平面，

平面,

取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720085050218032/SYS201411172008582368409684_DA/SYS201411172008582368409684_DA.012.png">軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，

，，．

，，

，,

平面． 4分

（2）設(shè)平面的法向量為,

，,

，，

令得為平面的一個(gè)法向量,

由（1）知平面， 為平面的法向量,

，,

二面角的余弦值為． 9分

（3）由（2），為平面法向量，

,

點(diǎn)到平面的距離． 12分

考點(diǎn)：空間向量的應(yīng)用，線面垂直的判定.