Question

已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}滿足：a₂₀₁₂=a₂₀₁₁+2a₂₀₁₀，若，則的最小值為________．

Answer 1

4
分析：由已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}滿足：a₂₀₁₂=a₂₀₁₁+2a₂₀₁₀，可求出公比q的值，再由，及通項公式即可求出m+n=4，進而再由基本不等式即可求出的最小值．
解答：設等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，∵a₂₀₁₂=a₂₀₁₁+2a₂₀₁₀，∴a₂₀₁₁q=a₂₀₁₁，
∵a₂₀₁₁＞0，∴，∴q²-q-2=0，解得q=2，或q=-1，∵q＞0，∴q=-1應舍去．∴q=2．
∴，，∴==2a₁，解得m+n=4．
∴===4．
當且僅當，即n=3m及m+n=4，亦即時取得最小值4．
故答案為4．
點評：本題綜合考查了等比數(shù)列的通項公式和基本不等式的性質，深刻理解以上知識和方法是解決問題的關鍵．