Question

已知

a

=(-

3

sinωx，cosωx)，

b

=(cosωx，cosωx)(ω＞0)，令函數(shù)f(x)=

a

•

b

，且f（x）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）可利用向量的坐標運算公式結(jié)合正弦與余弦的二倍角公式化簡函數(shù)的表達式，由最小正周期為π即可求得ω的值；
（2）直接利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間于函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）f（x）=-

3

sinωxcosωx+cos2ωx=-

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx+

1

2

=-sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

．
∵ω＞0，∴T=

2π

2ω

=π，
∴ω=1．
（2）由（1）可知f（x）=-sin（2x-

π

6

）+

1

2

．
∵2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z函數(shù)是減函數(shù)．
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
得kπ+

2π

3

≤x≤kπ+

5π

3

，k∈Z函數(shù)是增函數(shù)．
所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

2π

3

]，k∈Z．
函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ+

2π

3

，kπ+

5π

3

]，k∈Z．

點評：本題考查平面向量數(shù)量積的運算，正弦函數(shù)的定義域和值域及正弦函數(shù)的單調(diào)性，著重考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．