Question

3．若函數(shù)f（x）=x²+ax+2b在區(qū)間（0，1）和（1，2）內各有一個零點，則$\frac{a+b-3}{a-1}$的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{1}{4}$，1）
• B． （$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$）
• C． （$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{4}$）
• D． （$\frac{5}{4}$，2）

Answer 1

分析 由題意利用二次函數(shù)的性值可得$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{a+2b+1＜0}\\{a+b+2＞0}\end{array}\right.$，它所表示的區(qū)域為△ABC內的部分，而$\frac{a+b-3}{a-1}$=1+$\frac{b-2}{a-1}$，表示可行域內的點M（a，b）與點N（1，2）連線的斜率加上1，分別求得NA 的斜率、NC的斜率，可得$\frac{a+b-3}{a-1}$的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x²+ax+2b在區(qū)間（0，1）和（1，2）內各有一個零點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=2b＞0}\\{f（1）=1+a+2b＜0}\\{f（2）=4+2a+2b＞0}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{a+2b+1＜0}\\{a+b+2＞0}\end{array}\right.$，
它所表示的區(qū)域為△ABC內的部分，
其中，A（-1，0），B（-2，0）、C（-3，1）．
而$\frac{a+b-3}{a-1}$=$\frac{a-1+b-2}{a-1}$=1+$\frac{b-2}{a-1}$，
表示可行域內的點M（a，b）與點N（1，2）連線的斜率加上1，
由于NA 的斜率為$\frac{2-0}{1+1}$=1，NC的斜率為$\frac{2-1}{1+3}$=$\frac{1}{4}$，
故$\frac{a+b-3}{a-1}$的取值范圍是（$\frac{5}{4}$，2），
故選：D．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的性質，簡單的線性規(guī)劃問題，直線的斜率公式的應用，屬于中檔題．