Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=t，a_n+1=2S_n+1（n∈N）．
（1）若t≠-

1

2

，求證：數(shù)列{S_n}不是等差數(shù)列；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并求出該等比數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）把a(bǔ)_n+1=S_n+1-S_n代入a_n+1=2S_n+1化簡(jiǎn)得：S_n+1=3S_n+1，利用待定系數(shù)法求出S_n+1+

1

2

=3（S_n+

1

2

），對(duì)t進(jìn)行分類討論，分別利用等差、等比數(shù)列的定義進(jìn)行判斷即可；
（2）由a_n+1=2S_n+1可得a_n=2S_n-1+1（n≥2），兩式相減后化簡(jiǎn)并求出a₂，利用等比數(shù)列的定義求出t的值，再求公比和首項(xiàng)，代入等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出S_n．

解答： 證明：（1）由a_n+1=2S_n+1可得S_n+1-S_n=2S_n+1，則S_n+1=3S_n+1，
設(shè)S_n+1+k=3（S_n+k），則S_n+1=3S_n+2k，即2k=1，解得k=

1

2

，
所以S_n+1+

1

2

=3（S_n+

1

2

），
則當(dāng)a₁=t=-

1

2

時(shí)，S₁+

1

2

=0，所以S_n+1=-

1

2

，即S_n=-

1

2

，
此時(shí)數(shù)列{S_n}是以-

1

2

為首項(xiàng)、以0為公差的等差數(shù)列，
若a₁=t≠-

1

2

，S₁+

1

2

≠0，且滿足S_n+1+

1

2

=3（S_n+

1

2

），
所以數(shù)列{S_n+

1

2

}是以t+

1

2

為首項(xiàng)、以3為公比的等比數(shù)列，
此時(shí)數(shù)列{S_n}不是等差數(shù)列；
解：（2）由a_n+1=2S_n+1可得a_n=2S_n-1+1（n≥2），
兩式相減得a_n+1-a_n=2a_n，a_n+1=3a_n（n≥2）．
又a₂=2S₁+1=3，所以a₂=2a₁+1=2t+1，
若數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，
則有

a2

a1

=3，即

2t+1

t

=3，解得t=1，
則當(dāng)t=1時(shí)，數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列．
所以S_n=

1-3n

1-3

=

1

2

(3n-1)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差、等比數(shù)列的定義，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，待定系數(shù)法的應(yīng)用，以及數(shù)列a_n與S_n之間的關(guān)系式的靈活應(yīng)用，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化與變形能力．