Question

6．已知f（x+1）=x²-2x
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）在x∈[0，5]時．關(guān)于x的方程f（x）=k總有實(shí)數(shù)解，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用配湊法或者換元法求解該類函數(shù)的解析式，注意復(fù)合函數(shù)中的自變量與簡單函數(shù)自變量之間的聯(lián)系與區(qū)別
（2）k的取值范圍就是函數(shù)f（x）在x∈[0，5]的值域，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出值域即可．

解答 解：（1）由f（x+1）=x²-2x，得到f（x+1）=（x+1-1）²-2（x+1）+2故f（x）=（x-1）²-2x+2=（x-2）²-1=x²-4x+3
故f（x）=x²-4x+3．
（2）∵f（x）=x²-4x+3的對稱軸為x=2，∴函數(shù)f（x）在（0，2）遞減，在（2，5）遞增．
f（0）=3，f（2）=-1，f（5）=8
函數(shù)f（x）在x∈[0，5]的值域?yàn)閇-1，8]，
∴在x∈[0，5]時．方程f（x）=k總有實(shí)數(shù)解，k的取值范圍為[-1，8]．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的解析式求解，二次函數(shù)值域，考查了函數(shù)與方程思想，屬于中檔題．