Question

15．已知數(shù)列{a_n}，a₁=2，a_n=2a_n-1+$\frac{{2}^{n}}{n（n+1）}$，則a_n=$\frac{3n+1}{2（n+1）}•{2}^{n}$．

Answer 1

分析 在等式兩邊兩邊同除2ⁿ化簡(jiǎn)并裂項(xiàng)后，利用累加法求出$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，即可求出a_n．

解答 解：由題意得，a_n=2a_n-1+$\frac{{2}^{n}}{n（n+1）}$，
兩邊同除2ⁿ得，$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
即$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}-\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}-\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$=$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，…，$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
以上n-1個(gè)式子相加得，$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}$，
又a₁=2，∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{3n+1}{2（n+1）}$，則a_n=$\frac{3n+1}{2（n+1）}•{2}^{n}$，
故答案為：$\frac{3n+1}{2（n+1）}•{2}^{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推公式化簡(jiǎn)及應(yīng)用，以及利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查化簡(jiǎn)、變形能力．