Question

若關于x的不等式x²+|x+3a|＜2至少有一個正數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：我們將原不等式變形為：|x+3a|＜2-x²，我們在同一坐標系畫出y=2-x²（y＞0，x＞0）和 y=|x|兩個圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想，易得實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：原不等式變形為：|x+3a|＜2-x²，且 0＜2-x²．
在同一坐標系畫出y=2-x²（y＞0，x＞0）和 y=|x|兩個函數(shù)圖象，
將絕對值函數(shù) y=|x|向左移動當右支經(jīng)過 （0，2）點，-3a=-2，求得a=

2

3

．
將絕對值函數(shù) y=|x|向右移動讓左支與拋物線y=2-x²（y＞0，x＞0）相切時，
由

y-0=-(x+3a) y=2-x2

可得x²-x-3a-2=0，由判別式△=0，求得a=-

3

4

．
數(shù)形結(jié)合可得，實數(shù)a的取值范圍是（-

3

4

，

2

3

），
故答案為：（-

3

4

，

2

3

）．

點評：本題考查的知識點是一元二次函數(shù)的圖象，及絕對值函數(shù)圖象，其中在同一坐標中，畫出y=2-x²（y＞0，x＞0）和 y=|x|兩個圖象，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想得到答案，是解答本題的關鍵，屬于中檔題．