Question

1．設(shè)圓x²+y²-2x-2y-2=0的圓心為C，直線l過（0，3）與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若$|{AB}|=2\sqrt{3}$，則直線l的方程為（　�。�

• A． 3x+4y-12=0或4x-3y+9=0
• B． 3x+4y-12=0或x=0
• C． 4x-3y+9=0或x=0
• D． 3x-4y+12=0或4x+3y+9=0

Answer 1

分析 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=0，滿足條件；當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+3，求出圓半徑r，圓心C（1，1）到直線y=kx+3的距離d，由d²+（$\frac{|AB|}{2}$）²=r²，能求出直線l的方程．

解答 解：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x-2y-2=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1-\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1+\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴|AB|=2$\sqrt{3}$，成立．
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+3，
∵圓x²+y²-2x-2y-2=0的圓心為C，直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，$|{AB}|=2\sqrt{3}$，
∴圓半徑r=$\frac{1}{2}\sqrt{4+4+8}$=2，
圓心C（1，1）到直線y=kx+3的距離d=$\frac{|k-1+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∵d²+（$\frac{|AB|}{2}$）²=r²，∴$\frac{（k+2）^{2}}{{k}^{2}+1}$+3=4，解得k=-$\frac{3}{4}$，
∴直線AB的方程為y=-$\frac{3}{4}x$+3，即3x+4y-12=0．
綜上，直線l的方程為3x+4y-12=0或x=0．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線方程、圓、點(diǎn)到直線距離公式等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．