Question

9．已知函數(shù)$f（x）=sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+{sin^2}\frac{x}{2}$．
（Ⅰ）求$f（\frac{π}{3}）$的值；
（Ⅱ）求f（x）在$（-\frac{π}{3}，\frac{π}{2}]$的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接將x=$\frac{π}{3}$帶入計算即可．
（Ⅱ）利用二倍角公式和輔助角公式化簡，由$x∈（-\frac{π}{3}，\frac{π}{2}]$，得$x-\frac{π}{4}∈（-\frac{7π}{12}，\frac{π}{4}]$，結(jié)合三角函數(shù)圖象及性質(zhì)求解可得值域．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+{sin^2}\frac{x}{2}$，
∴$f（\frac{π}{3}）=sin\frac{π}{6}cos\frac{π}{6}+{sin^2}\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}+{（\frac{1}{2}）^2}$=$\frac{{1+\sqrt{3}}}{4}$．
（Ⅱ）$f（x）=sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+{sin^2}\frac{x}{2}$
化簡可得：f（x）=$\frac{1}{2}sinx+\frac{1-cosx}{2}$=$\frac{1}{2}（sinx-cosx）+\frac{1}{2}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（x-\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$，
由$x∈（-\frac{π}{3}，\frac{π}{2}]$，得$x-\frac{π}{4}∈（-\frac{7π}{12}，\frac{π}{4}]$，
∴$-1≤sin（x-\frac{π}{4}）≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
得：$\frac{{1-\sqrt{2}}}{2}≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（x-\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}≤1$，
故得f（x）的值域為$[{\frac{{1-\sqrt{2}}}{2}，1}]$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．