Question

已知x=1是函數(shù)f（x）=

1

3

ax³-

3

2

x²+（a+1）x+5的一個極值點(diǎn)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若曲線y=f（x）與直線y=2x-2m+1有三個交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由f′（x）=ax²-3x+a+1，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）=

1

3

x³-

3

2

x²+2x+5．
（2）曲線y=f（x）與直線y=2x-2m+1有三個交點(diǎn)，即g（x）=

1

3

x³-

3

2

x²+2m+4有三個零點(diǎn)，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=ax²-3x+a+1
由f′（1）=0得：a-3+a+1=0
即a=1
∴f（x）=

1

3

x³-

3

2

x²+2x+5．
（2）曲線y=f（x）與直線y=2x-2m+1有三個交點(diǎn)，
即g（x）=

1

3

x³-

3

2

x²+2m+4有三個零點(diǎn)，
g′（x）=x²-3x，由g′（x）＞0，得x＜0，或x＞3；由g′（x）＜0，得0＜x＜3，
∴g（x）的增區(qū)間為（-∞，0），（3，+∞），減區(qū)間為（0，3），
要使g（x）有三個零點(diǎn)，
只需g（x）_極大值=g（0）=2m+4＞0，且g（x）_極小值=g（3）=2m-

1

2

＜0，
解得-2＜m＜

1

4

．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-2，

1

4

）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．