Question

已知函數(shù)f（x）=（1-a）lnx+

a

x

+x，其中a∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線垂直于y軸，求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]（e=2.718…）上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出導(dǎo)數(shù)f′（x）=

1-a

x

-

a

x2

+1，（x＞0），由f′（1）=0解出即可，
（Ⅱ）求出f′（x）=

1-a

x

-

a

x2

+1=

(x+1)(x-a)

x2

，分別討論①a≤1時(shí)，②1＜a＜e時(shí)，③a≥e時(shí)的情況求出即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=

1-a

x

-

a

x2

+1，（x＞0）
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線垂直于y軸，
∴f′（1）=0，即

1-a

1

+

-a

12

+1=0，
∴a=1，
（Ⅱ）∵f′（x）=

1-a

x

-

a

x2

+1=

(x+1)(x-a)

x2

，
①a≤1時(shí)，在區(qū)間[1，e]，f′（x）≥0，
∴f（x）在[1，e]上遞增，
∴x=1時(shí)，f（x）取到最小值f（1）=1+a，
②1＜a＜e時(shí)，在區(qū)間[1，a]，f′（x）≤0，∴f（x）在[1，a]上遞減，
在區(qū)間[a，e]，f′（x）≥0，∴f（x）在[a，e]遞增，
∴x=a時(shí)，f（x）取到最小值f（a）=1+a+lna-alna，
③a≥e時(shí)，在[1，e]上，f′（x）≤0，∴f（x）在[1，e]遞減，
∴x=e時(shí)，f（x）取到最小值f（e）=1+a+

a

e

+e，
綜上，當(dāng)a≤1時(shí)，f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=1+a，
1＜a＜e時(shí)f（x）在[1，e]最小值是f（a）=1+a+lna-alna，
a≥e時(shí)，f）（x）在[1，e]上的最小值是f（e）=1+a+

a

e

+e．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分類討論思想，是一道綜合題．