Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（

2x2+1

-mx）在R上為奇函數(shù)，a＞1，m＞0．
（Ⅰ）求實數(shù)m的值；
（Ⅱ）指出函數(shù)f（x）的單調(diào)性．（不需要證明）
（Ⅲ）設(shè)對任意x∈R，都有f（

2

cosx+2t+5）+f（

2

sinx-t²）≤0；是否存在a的值，使g（t）=a 4t-2^t+1最小值為-

2

3

．

Answer 1

考點：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）f（-x）=-f（x）可得（

2x2+1

+mx）=（

1

2x2+1 -mx

），即 2x²+1-m²x²=1，由此求得m的值．
（II）由 f（x）=log_a（

2x2+1

-

2

x）=log_a（

1

2x2+1 + 2 x

），可得函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)．
（III）先由已知條件求得t²-2t-5≤-2，求得-1≤t≤3．令n=2^t，h（n）=g（t）=an²-2n，二次函數(shù)h（n）的對稱軸方程為n=

1

a

．再根據(jù)g（t）最小值為-

2

3

，利用二次函數(shù)的性質(zhì)、分類討論求得a的值．

解答： 解：（I）f（-x）=-f（x）可得，log_a（

2x2+1

+mx）=-log_a（

2x2+1

-mx）=log_a（

1

2x2+1 -mx

），
∴（

2x2+1

+mx）=（

1

2x2+1 -mx

），即 2x²+1-m²x²=1，∴m²=2，m=

2

．
（II）由（I）知 f（x）=log_a（

2x2+1

-

2

x）=log_a（

1

2x2+1 + 2 x

），
故函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)．
（III）又對任意x∈R，都有f（

2

cosx+2t+5）+f（

2

sinx-t²）≤0，
∴f（

2

cosx+2t+5）≤-f（

2

sinx-t²）=f（t²-

2

sinx），
∴

2

cosx+2t+5≥t²-

2

sinx，即 t²-2t-5≤

2

sinx+

2

cosx．
由于

2

sinx+

2

cosx=2sin（x+

π

4

）≥-2，故 t²-2t-5≤-2，解得-1≤t≤3．
令n=2^t，則n∈[

1

2

，8]，令h（n）=g（t）=a 4t-2^t+1 =an²-2n，二次函數(shù)h（n）的對稱軸方程為n=

1

a

．
∵a＞1，∴0＜

1

a

＜1．
當(dāng)0＜

1

a

＜

1

2

時，h（n）在[

1

2

，8]上是增函數(shù)，h（n）的最小值為h（

1

2

）=

a

4

-1=-

2

3

，求得a=

4

3

 （舍去）．
當(dāng)

1

2

≤

1

a

＜1時，h（n）的最小值為h（

1

a

）=-

1

a

=-

2

3

，求得a=

3

2

，滿足條件．
綜上可得，a=

3

2

．

點評：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．