Question

6．已知函數(shù)f（x）=|x-1|-2|x+a|，a＞0
（1）若a=1時，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若f（x）的圖象與x軸圍成的三角形面積小于6，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，求出各個區(qū)間上的x解集，取并集即可；（2）分別求出三角形頂點的坐標(biāo)，表示出三角形的面積，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）＞1，化為：|x-1|-2|x+1|-1＞0，①，
當(dāng)x≤-1時，①式化為：x+2＞0，解得：-2＜x≤-1，
當(dāng)-1＜x＜1時，①式化為：-x-4＞0，無解，
∴f（x）＞1的解集是{x|-2＜x＜-$\frac{2}{3}$}；
（2）由題設(shè)可得：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+2a+1，x＜-a}\\{-3x+1-2a，-a≤x≤1}\\{-x-1-2a，x＞1}\end{array}\right.$，
∴函數(shù)f（x）的圖象與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為：
A（-2a-1，0），B（-a，a+1），C（$\frac{1-2a}{3}$，0），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{4+4n}{3}$×（1+a）=$\frac{2}{3}$（1+a）²，
由題設(shè)可得：$\frac{2}{3}$（1+a）²＜6，解得：0＜a＜2，
故a是范圍是（0，2）．

點評 本題考查了絕對值不等式問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．