Question

過圓x²+y²=1上一點P作圓的切線與x軸和y軸分別交于A，B兩點，O是坐標原點，則|

OA

+2

OB

|的最小值是

3

．

Answer 1

分析：設∠OBP=α，由O＜α＜

π

2

，∠OAP=

π

2

-α，知|

OA

+2

OB

|=|（

1

cosα

，

2

sinα

）|然后利用向量的模以及基本不等式求出表達式的最小值即可．

解答：解：設∠OAP=α，
∵O＜α＜

π

2

，∠OBP=

π

2

-α，

OA

=(

1

cosα

，0)，2

OB

=(0，

2

sinα

)，
∴|

OA

+2

OB

|=|（

1

cosα

，

2

sinα

）|=

( 1 cosα )2+( 2 sinα )2

=

sin2α+4cos2α sin2αcos2α

=

sin4α+4cos4α+5sin2αcos2α sin2αcos2α

=

tan2α+ 4 tan2α +5

≥

9

=3，當且僅當tan²α=

4

tan2α

時，表達式取得最小值．
故答案為：3．

點評：本題考查直線和圓的方程的應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地運用均值不等式進行解題．