Question

已知橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F₁、F₂，線段OF₁、OF₂的中點分別為B₁、B₂，且△AB₁B₂是面積為4的直角三角形．
（1）求橢圓標準方程；
（2）過B₁作直線l交橢圓于P，Q，且以線段PQ為直徑的圓過點B₂，求直線l的方程與△PB₂Q的面積．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．利用△AB₁B₂是面積為4的直角三角形．可得

1

2

|B1B2||OA|=

1

2

×c×b=4，且b=

1

2

c，a²=b²+c²．解出即可．
（2）當l與x軸重合時，不符合題意．設(shè)直線l的方程為x+2=my，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系．由于以PQ為直徑的圓恰好經(jīng)過B₂（2，0），可得PB₂⊥QB₂，利用

B2P

•

B2Q

=0即可解出．利用弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵上頂點為A，線段OF₁、OF₂的中點分別為B₁、B₂，且△AB₁B₂是面積為4的直角三角形．
∴

1

2

|B1B2||OA|=

1

2

×c×b=4，且b=

1

2

c，解得b=2，c=4，∴a²=b²+c²=20．
∴橢圓標準方程為

x2

20

+

y2

4

=1．
（2）B₁（-2，0）．
當l與x軸重合時，不符合題意．
設(shè)直線l的方程為x+2=my，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
聯(lián)立

x+2=my x2+5y2=20

，化為（5+m²）y²-4my-16=0，
∴y₁+y₂=

4m

5+m2

，y₁y₂=

-16

5+m2

∵以PQ為直徑的圓恰好經(jīng)過B₂（2，0），
∴PB₂⊥QB₂，
∴

B2P

•

B2Q

=（x₁-2，y₁）•（x₂-2，y₂）
=（my₁-2）（my₂-2）+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂-2m（y₁+y₂）+4=0，
∴

-16(1+m2)

5+m2

+

-8m2

5+m2

+4=0，
化為m2=

1

5

．
解得m=±

5

5

．
∴直線l的方程為：x+2=±

5

5

y，即

5

x±y+2

5

=0．
|PQ|=

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

6 5 ×[( 4m 5+m2 )2- -64 5+m2 ]

=

6 70

13

，
B₂到直線l的距離d=

2 30

3

．
∴△PB₂Q的面積=

1

2

|PQ|•d=

1

2

×

6 70

13

×

2 30

3

=

20 21

13

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．