Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-（x-1）²，其中a為實常數(shù)．
（1）若對任意x∈（0，1），都有f（x）＞f（1），求a的取值范圍；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集中恰有兩個整數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）若對任意x∈（0，1），都有f（x）＞f（1），即ax²-（x-1）²＞a恒成立，即a（x²-1）＞（x-1）²恒成立，即a＜

x-1

x+1

=1-

2

x+1

恒成立，構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的最小值，可得a的取值范圍；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集中恰有兩個整數(shù)，可得

a

-1＜0，即a∈（0，1），且

1

1- a

∈（2，3），解得

1

1- a

∈（2，3）．

解答： 解：（1）若對任意x∈（0，1），都有f（x）＞f（1），
即ax²-（x-1）²＞a恒成立，
即a（x²-1）＞（x-1）²恒成立，
即a＜

x-1

x+1

=1-

2

x+1

恒成立，
由y=1-

2

x+1

在（0，1）上為增函數(shù)，
當(dāng)x=0時，y=1-

2

x+1

取最小值-1，
故a≤-1，
（2）不等式f（x）＞0，即ax²-（x-1）²＞0，
即[（

a

+1）x-1]•[（

a

-1）x+1]＞0，
若關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集中恰有兩個整數(shù)，
則

a

-1＜0，即a∈（0，1），
此時不等式的解集為（

1

1+ a

，

1

1- a

），
又∵

1

1+ a

∈（

1

2

，1），解集中恰有兩個整數(shù)，
故這兩個整數(shù)必為1，2，
故

1

1- a

∈（2，3），
解得a∈（

1

4

，

4

9

）

點評：本題考查的知識點為二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)恒成立問題，二次不等式的解集，是函數(shù)和不等式的綜合應(yīng)用，難度較大，屬于難題．