Question

已知圓C的圓心在坐標(biāo)原點，且與直線l₁：x-y-2

2

=0相切．
（1）求直線l₂：4x-3y+5=0被圓C所截得的弦AB的長；
（2）過點G（1，3）作兩條與圓C相切的直線，切點分別為M，N，求直線MN的方程；
（3）若與直線l₁垂直的直線l過點R（1，-1），且與圓C交于不同的兩點P，Q．若∠PRQ為鈍角，求直線l的縱截距的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關(guān)系

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）先求出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，再求直線l₂：4x-3y+5=0被圓C所截得的弦AB的長；
（2）求出以G點為圓心，線段GM長為半徑的圓G方程，與圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程相減，即可求直線MN的方程．
（3）設(shè)直線的方程為：y=-x+b聯(lián)立x²+y²=4，∠PRQ為鈍角，所以

RP

•

RQ

＜0，當(dāng)

RP

與

RQ

反向共線時，直線y=-x+b過（1，-1），此時b=0，不滿足題意，即可求出直線l縱截距的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意得：圓心（0，0）到直線l1：x-y-2

2

=0的距離為圓的半徑，r=

2 2

2

=2，
所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²+y²=4（2分）
所以圓心到直線l₂的距離d=

22-3

=1（3分），
∴|AB|=2

22-12

=2

3

（4分）
（2）因為點G（1，3），所以|OG|=

12+32

=

10

，|GM|=

OG2-OM2

=

6

所以以G點為圓心，線段GM長為半徑的圓G方程：（x-1）²+（y-3）²=6①
又圓C方程為：x²+y²=4②，由①-②得直線MN方程：x+3y-4=0（8分）
（3）設(shè)直線l的方程為：y=-x+b聯(lián)立x²+y²=4得：2x²-2bx+b²-4=0，
設(shè)直線l與圓的交點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由△=（-2b）²-8（b²-4）＞0，得b²＜8，x1+x2=b，x1•x2=

b2-4

2

③（10分）
因為∠PRQ為鈍角，所以

RP

•

RQ

＜0，
即滿足（x₁-1）（x₂-1）+（y₁+1）（y₂+1）＜0，且

RP

與

RQ

不是反向共線，
又y₁=-x₁+b，y₂=-x₂+b，
所以(x1-1)(x2-1)+(y1+1)(y2+1)=2x1x 2-(b+2)(x1+x2)+b2+2b+2＜0④
由③④得b²＜2，滿足△＞0，即-

2

＜b＜

2

，（12分）
當(dāng)

RP

與

RQ

反向共線時，直線y=-x+b過（1，-1），此時b=0，不滿足題意，
故直線l縱截距的取值范圍是-

2

＜b＜

2

，且b≠0（14分）

點評：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．