Question

18．已知直線l過定點(diǎn)P（1，1），且傾斜角為$\frac{π}{4}$，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為$ρ=2cosθ+\frac{3}{ρ}$．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線l的參數(shù)方程；
（2）若直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，求|AB|及|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)為ρ²=2ρcosθ+3，將ρ²=x²+y²，ρcosθ=x代入，能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程；由直線l過定點(diǎn)P（1，1），且傾斜角為$\frac{π}{4}$，能求出直線l的參數(shù)方程．
（2）將直線l的參數(shù)方程代入x²+y²-2x-3=0，得${t}^{2}+\sqrt{2}t-3=0$，設(shè)方程兩根分別為t₁，t₂，利用韋達(dá)定理及弦長公式能求出|AB|及|PA|•|PB|的值．

解答 解：（1）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為$ρ=2cosθ+\frac{3}{ρ}$，
∴ρ²=2ρcosθ+3，
將ρ²=x²+y²，ρcosθ=x代入，得x²+y²=2x+3，即x²+y²-2x-3=0．
∵直線l過定點(diǎn)P（1，1），且傾斜角為$\frac{π}{4}$，
則直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{π}{4}}\\{y=1+tsin\frac{π}{4}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（2）將直線l的參數(shù)方程代入x²+y²-2x-3=0，得${t}^{2}+\sqrt{2}t-3=0$，
設(shè)方程兩根分別為t₁，t₂，則$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}+{t}_{2}=-\sqrt{2}}\\{{t}_{1}{t}_{2}=-3}\end{array}\right.$，
∴AB的長|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{2+12}$=$\sqrt{14}$，
|PA|•|PB|=|t₁t₂|=3．

點(diǎn)評 本題考查曲線的直角坐標(biāo)坐標(biāo)方程、直線的參數(shù)方程的求法，考查線段落長及兩線段乘積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程互化公式的合理運(yùn)用．