Question

9．如圖，AB是圓O的直徑，P是線段AB延長線上一點，割線PCD交圓O于點C，D，過點P作AP的垂線，交線段AC的延長線于點E，交線段AD的延長線于點F，且PE•PF=5，PB=$\frac{1}{2}$OA．
（1）求證：C，D，E，F(xiàn)四點共圓；
（2）求圓O的面積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD，AB是圓O的直徑，可得∠BDA=90°，由同弧所對圓周角相等可得∠CDB=∠CAB，證得∠PEC=∠PDF，即可得到四點共圓；
（2）設(shè)出圓O的半徑為r，利用割線定理，解方程可得r=2，再由圓的面積公式計算即可得到所求值．

解答 （1）證明：連結(jié)BD，AB是圓O的直徑，
直徑所對圓周角為直角可得∠BDA=90°，
由同弧所對圓周角相等，可得∠CDB=∠CAB，
又∠PEC=90°-∠CAB，
∠PDF=90°-∠CDB，
可得：∠PEC=∠PDF，
故D，C，E，F(xiàn)四點共圓；
（2）解：設(shè)圓O的半徑為r，
由圓的割線定理可得，
PE•PF=PC•PD=PB•PA=$\frac{1}{2}$r（2r+$\frac{1}{2}$r）=5，
解得r=2，
可得圓O的面積為4π．

點評 本題考查四點共圓的證明，注意運(yùn)用圓的同弧所對圓周角相等，以及直徑所對圓周角為直角，考查割線定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．