Question

18．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的短軸長為2，離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于A，B兩點，且線段AB的垂直平分線通過點$（{0，-\frac{1}{2}}）$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）當(dāng)△AOB（O為坐標原點）面積取最大值時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率公式及b=1，即可求得a的值，求得橢圓方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，根據(jù)韋達定理，中點坐標公式及直線的斜率公式，求得m和k的關(guān)系，利用點到直線的距離公式及弦長公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得△AOB面積取最大值．

解答 解：（1）由已知可得$\left\{\begin{array}{l}e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\ 2b=2\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，解得a²=2，b²=1，
故橢圓C的標準方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，
消去y得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
當(dāng)△=8（2k²-m²+1）＞0，即2k²＞m²-1時，${x_1}+{x_2}=\frac{-4km}{{1+2{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$．
∴$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{-2km}{{1+2{k^2}}}$，$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=\frac{m}{{1+2{k^2}}}$．
由線段AB的垂直平分線過點$（{0，-\frac{1}{2}}）$，則$\frac{{\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}-（{-\frac{1}{2}}）}}{{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}-0}}$=$-\frac{1}{k}$，
化簡整理得2k²+1=2m．
由$\left\{\begin{array}{l}2{k^2}+1=2m\\ 2{k^2}+1＞{m^2}\end{array}\right.$得0＜m＜2．
又原點O到直線AB的距離為$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$．$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|$=$2\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{4{k^2}-2{m^2}+2}}}{{1+2{k^2}}}$，
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{AB}|•d$=$\frac{{|m|\sqrt{4{k^2}-2{m^2}+2}}}{{1+2{k^2}}}$，
而2k²+1=2m且0＜m＜2，則${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}\sqrt{4m-2{m^2}}$，0＜m＜2．
∴當(dāng)m=1，即${k^2}=\frac{1}{2}$時，S_△AOB取得最大值$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
綜上S_△AOB的最大值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
此時直線l：$y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+1$或$y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+1$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，弦長公式，中點坐標公式，考查二次函數(shù)的最值與橢圓的關(guān)系，考查計算能力，屬于中檔題．