Question

18．已知四棱錐A-BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F(xiàn)為AD的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥面ABC；
（Ⅱ）求四棱錐A-BCDE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC中點G，連結(jié)FG、BG，推導(dǎo)出EF∥BG，由此能證明EF∥面ABC．
（Ⅱ）連結(jié)EC，V_A-BCDE=V_E-ABC+V_E-ADC，由此能求出四棱錐A-BCDE的體積．

解答 證明：（Ⅰ）取AC中點G，連結(jié)FG、BG，
∵F，G分別是AD，AC的中點
∴FG∥CD，且FG=$\frac{1}{2}$DC=1．
∵BE∥CD∴FG與BE平行且相等
∴EF∥BG．
∵EF?面ABC，BG?面ABC，
∴EF∥面ABC．
解：（Ⅱ）連結(jié)EC，該四棱錐分為兩個三棱錐E-ABC和E-ADC．
∴四棱錐A-BCDE的體積V_A-BCDE=V_E-ABC+V_E-ADC=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×1+\frac{1}{3}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查四棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真這題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．