Question

10．已知p：?x∈R，mx²+4mx-4＜0為真命題．
（1）求實(shí)數(shù)m取值的集合M．
（2 ） 設(shè)不等式（x-a）（x+a-2）＜0的解集為N，若x∈N是x∈M的必要不充分條件，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次不等式的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．
（2）根據(jù)充分條件和必要條件的定義轉(zhuǎn)化為集合關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）命題p為真命題，即不等式m{x^2}+4mx-4＜0在R上恒成立．當(dāng)m=0時(shí)，不等式為-4＜0，恒成立，所以m=0符合題意．
當(dāng)m≠0時(shí)，不等式恒成立應(yīng)有$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{△=16{m}^{2}+16m＜0}\end{array}\right.$．
解得-1＜m＜0，
綜上-1＜m≤0，
故實(shí)數(shù)m的取值的范圍是M=（-1，0]，
（2）因?yàn)閤∈N是x∈M的必要不充分條件．
所以M?N．
當(dāng)a＞2-a即a＞1時(shí)，不等式（x-a）（x+a-2）＜0的解集為N=（2-a，a），
則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{2-a≤-1}\end{array}\right.$．，得a≥3；
當(dāng)a＜2-a即a＜1時(shí)，不等式（x-a）（x+a-2）＜0的解集為N=（a，2-a}，
有：$\left\{\begin{array}{l}{2-a＞0}\\{a≤-1}\end{array}\right.$．，得a≤-1；
當(dāng)a=2-a即a=1時(shí)，不等式（x-a）（x+a-2）＜0的解集為N=∅，不滿足條件．
綜上a∈（-∞，-1]∪[3，+∞）．

點(diǎn)評 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合不等式的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．