Question

14．設(shè)點P（x，y）是不等式組$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{x-2y+1≥0}\\{x+y≤3}\end{array}\right.$，所表示的平面區(qū)域內(nèi)的任意一點，向量$\overrightarrow{m}$=（1，1），$\overrightarrow{n}$=（2，1），點O是坐標(biāo)原點．若向量$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{m}$+μ$\overrightarrow{n}$（λ，μ∈R），則λ-μ的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\frac{3}{2}$，$\frac{2}{3}$]
• B． [-6，2]
• C． [-1，$\frac{7}{2}$]
• D． [-4，$\frac{2}{3}$]

Answer 1

分析 根據(jù)向量的坐標(biāo)公式，求出P的坐標(biāo)（x，y）滿足x=λ+2μ，y=λ+μ），結(jié)合等式組$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{x-2y+1≥0}\\{x+y≤3}\end{array}\right.$，轉(zhuǎn)化為λ、μ的不等式組，利用線性規(guī)劃求解．

解答 解：向量$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{m}$+μ$\overrightarrow{n}$=（λ+2μ，λ+μ）（λ，μ∈R），即P（λ+2μ，λ+μ），
設(shè)點P（x，y）是不等式組$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{x-2y+1≥0}\\{x+y≤3}\end{array}\right.$，所表示的平面區(qū)域內(nèi)的任意一點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ+μ≥0}\\{λ+2μ-2（λ+μ）+1≥0}\\{λ+2μ+λ+μ≤3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{λ+μ≥0}\\{λ≤1}\\{2λ+3μ≤3}\end{array}\right.$…①
作出不等式組①對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，則由圖象可知，A點的坐標(biāo)u最大，
目標(biāo)函數(shù)z=λ-μ，變形為：μ=λ-z，
當(dāng)直線μ=λ-z經(jīng)過點A（-3，3）時，z最小為-6，當(dāng)直線μ=λ-z經(jīng)過點B（1，-1）時，z最大為2．
則λ-μ的取值范圍是：[-6，2]，
故選：B．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用向量的坐標(biāo)公式，結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．