Question

1．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且位于第一象限，直線PO，PF分別交橢圓C于M，N兩點(diǎn)．若△POF為正三角形，則直線MN的斜率等于（　　）

• A． $\sqrt{3}$-1
• B． $\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$
• C． 2-$\sqrt{2}$
• D． 2-$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由于|OF|為半焦距c，利用等邊三角形性質(zhì)，即可得點(diǎn)P的一個(gè)坐標(biāo)，PF方程為：y=-$\sqrt{3}$（x-c）代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程即可得N坐標(biāo)，再用斜率公式，求解

解答 解：∵橢圓上存在點(diǎn)P使△AOF為正三角形，設(shè)F為左焦點(diǎn)，|OF|=c，P在第一象限，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{c}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}c$）代入橢圓方程得，$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{{3c}^{2}}{4^{2}}=1$．又因?yàn)閍²=b²+c²，得到$c=（\sqrt{3}-1）a$．
橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的方程可設(shè)為：2$\sqrt{3}$x²+（4+2$\sqrt{3}$）y²=（2$\sqrt{3}$+3）c^2…①．
PF方程為：y=-$\sqrt{3}$（x-c）…②
由①②得N（（$\sqrt{3}-\frac{1}{2}$）c，$\frac{3\sqrt{3}-6}{2}c$），
M，P兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴M（-$\frac{c}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}$c）
直線MN的斜率等于$\frac{\frac{3\sqrt{3}-6}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與直線的位置關(guān)系，計(jì)算量較大，屬于中檔題．