設(shè)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），對(duì)于任意正實(shí)數(shù)m，n恒有f（m•n）=f（m）+f（n），且當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＞0，f(
1
2
)=-1．
（1）求f（2）的值；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）解關(guān)于x的不等式f(x)≥2+f(
3
x-4
)．
分析：（1）利用賦值法，可令m=n=1可求得f（1）=0，再令m=2，n=
1
2
，可求f（2）的值；
（2）為定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，注意步驟；（3）利用已證的單調(diào)性把不等式轉(zhuǎn)化為不等式組
x≥
12
x-4
x＞0
12
x-4
＞0
求解．
解答：解：（1）對(duì)于任意正實(shí)數(shù)m，n；恒有f（mn）=f（m）+f（n）
令m=n=1，f（1）=2f（1）∴f（1）=0，
又∵f(
1
2
)=-1
再令m=2，n=
1
2
，得f(1)=f(2×
1
2
)=f(2)+f(
1
2
)
∵f(
1
2
)=-1∴f(2)=1
（2）令0＜x1＜x2，則
x 2
x 1
＞1
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞0∴f(
x 2
x 1
)＞0
∵f(mn)=f(m)+f(n)
∴f(x2)-f(x1)=f(x1•
x2
x1
)-f(x1)

=f(x1)+f(
x2
x1
)--f(x1)=f(
x2
x1
)＞0
∴f（x2）＞f（x1）
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．
（3）∵f（mn）=f（m）+f（n）f（2）=1
∴f（4）=2f（2）=2
2+f(
3
x-4
)=f(4)+f(
3
x-4
)=f(
12
x-4
)
∴原不等式可化為f(x)≥f(
12
x-4
)，又∵f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)
∴
x≥
12
x-4
x＞0
12
x-4
＞0
∴
-2≤x＜4或x≥6
x＞0
x＞4

∴x≥6
點(diǎn)評(píng)：本題為函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，涉及不等式的解法即轉(zhuǎn)化的思想，屬基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且對(duì)任意正數(shù)x均有f′（x）＞
f(x)
x
，
（Ⅰ）判斷函數(shù)F（x）=
f(x)
x
在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)x1，x2∈（0，+∞），比較f（x1）+f（x2）與f（x1+x2）的大小，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

18、設(shè)F（x）的定義域?yàn)镽，且滿足F（ab）=F（a）F（b），其中F（2）=8．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足下述條件：①f（x）是奇函數(shù)；②f（x+2）是偶函數(shù)；③在[-2，2]上，f（x）=F（x）
（1）設(shè)G（x）=f（x+4），判斷G（x）的奇偶性并證明；（2）解關(guān)于x的不等式：f（x）≤1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）的定義域?yàn)閇0，2]，則函數(shù)f（x2）的定義域是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）的定義域?yàn)镈，若f（x）滿足下面兩個(gè)條件，則稱f（x）為閉函數(shù)，[a，b]為函數(shù)f（x）的閉區(qū)間．①f（x）在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]．
（1）寫出f（x）=x3的一個(gè)閉區(qū)間；
（2）若f（x）=
13
x3-k為閉函數(shù)求k取值范圍？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）的定義域?yàn)镈，f（x）滿足下面兩個(gè)條件，則稱f（x）為閉函數(shù)．
①f（x）在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；
②存在[a，b]⊆D，f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]．
如果f（x）=
2x+1
+k為閉函數(shù)，那么k的取值范圍是
-1＜k≤-
1
2
-1＜k≤-
1
2
．

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