Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）當(dāng)時，求的極值；

（2）當(dāng)時，證明：在上恒成立．

Answer 1

【答案】（1）在處取得極大值無極小值（2）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)在定義區(qū)間上的零點，列表分析函數(shù)單調(diào)性變化趨勢，確定極值（2）證明不等式，一般利用函數(shù)最值進行證明，而構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)是解題的關(guān)鍵與難點，因為，所以首先將對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)分離，為使函數(shù)有最值，再作變形：，這樣只需證明：，利用導(dǎo)數(shù)不難求得，，所以，但等號取法不同，因此

試題解析：（1）當(dāng)時，，

∴當(dāng)時，；當(dāng)時，．

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

∴在處取得極大值無極小值

（2）當(dāng)時，，

下面證，即證．

設(shè)， 則，

在上，是減函數(shù)；在上，是增函數(shù)．

所以．

設(shè)， 則，

在上，是增函數(shù)；在上，是減函數(shù)，

所以，．

所以，即，所以，即，

即在上恒成立