Question

1．已知橢圓x²+2y²=8的兩個焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，A為橢圓上任意一點(diǎn)，AP是△AF₁F₂的外角平分線，且$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{{F_2}P}$=0，則點(diǎn)P的軌跡方程為x²+y²=8．

Answer 1

分析 根據(jù)等腰三角形“三線合一”，得到|MP|=|F₂P|，從而|PF₁|+|PF₂|=|MF₁|，結(jié)合橢圓的定義可得|MF₁|=2a，運(yùn)用中位線定理，即可得到動點(diǎn)P的軌跡對應(yīng)的圖形．

解答 解：橢圓x²+2y²=8，即為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
可得a=2$\sqrt{2}$，
$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{{F_2}P}$=0，可得$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{{F}_{2}P}$，
延長F₁A和F₂P交于M，連接OP，
可得|MP|=|F₂P|，即有|PF₁|+|PF₂|=|AM|+|AF₂|=|MF₁|，
根據(jù)橢圓的定義，可得|PF₁|+|PF₂|=4$\sqrt{2}$，
∴|MF₁|=4$\sqrt{2}$，
由中位線定理可得|OP|=$\frac{1}{2}$|MF₁|=2$\sqrt{2}$，
因此，點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)O為圓心，半徑為2$\sqrt{2}$的圓x²+y²=8．
故答案為：x²+y²=8．

點(diǎn)評 本題給出橢圓上動點(diǎn)A，求點(diǎn)P的軌跡方程，著重考查了橢圓的定義和簡單幾何性質(zhì)，以及等腰三角形“三線合一”等知識，屬于中檔題．