Question

8．水培植物需要一種植物專用營養(yǎng)液．已知每投放a（1≤a≤4且a∈R）個單位的營養(yǎng)液，它在水中釋放的濃度y（克/升）隨著時間x（天）變化的函數關系式近似為y=af（x），其中f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4+x}{4-x}（0≤x≤2）}\\{\;}\\{5-x（2＜x≤5）}\end{array}\right.$，若多次投放，則某一時刻水中的營養(yǎng)液濃度為每次投放的營養(yǎng)液在相應時刻所釋放的濃度之和，根據經驗，當水中營養(yǎng)液的濃度不低于4（克/升）時，它才能有效．
（1）若只投放一次4個單位的營養(yǎng)液，則有效時間可能達幾天？
（2）若先投放2個單位的營養(yǎng)液，3天后投放b個單位的營養(yǎng)液．要使接下來的2天中，營養(yǎng)液能夠持續(xù)有效，試求b的最小值．

Answer 1

分析 （1）營養(yǎng)液有效則需滿足y≥4，由分段函數，對x討論，解不等式即可得到結論；
（2）設第二次投放營養(yǎng)液的持續(xù)時間為x天，則此時第一次投放營養(yǎng)液的持續(xù)時間為（x+3）天，且0≤x≤2；設y₁為第一次投放營養(yǎng)液的濃度，y₂為第二次投放營養(yǎng)液的濃度，y為水中的營養(yǎng)液的濃度；可得y₁=2[5-（x+3）]=4-2x，y₂=b•$\frac{4+x}{4-x}$，y=y₁+y₂=4-2x+b•$\frac{4+x}{4-x}$≥4在[0，2]上恒成立，運用參數分離和換元法，結合基本不等式，即可得到b的最小值．

解答 解：（1）營養(yǎng)液有效則需滿足y≥4，則$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤2}\\{4•\frac{4+x}{4-x}≥4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2＜x≤5}\\{4（5-x）≥4}\end{array}\right.$，
即為0≤x≤2或2＜x≤4，
解得0≤x≤4，
所以營養(yǎng)液有效時間可達4天；
（2）設第二次投放營養(yǎng)液的持續(xù)時間為x天，
則此時第一次投放營養(yǎng)液的持續(xù)時間為（x+3）天，且0≤x≤2；
設y₁為第一次投放營養(yǎng)液的濃度，y₂為第二次投放營養(yǎng)液的濃度，
y為水中的營養(yǎng)液的濃度；
∴y₁=2[5-（x+3）]=4-2x，y₂=b•$\frac{4+x}{4-x}$，
y=y₁+y₂=4-2x+b•$\frac{4+x}{4-x}$≥4在[0，2]上恒成立，
∴b≥2x•$\frac{4-x}{4+x}$在[0，2]上恒成立
令t=4+x，t∈[4，6]，則b≥-2（t+$\frac{32}{t}$）+24，
又-2（t+$\frac{32}{t}$）+24≤24-2•2$\sqrt{t•\frac{32}{t}}$=24-16$\sqrt{2}$，
當且僅當t=$\frac{32}{t}$，即t=4$\sqrt{2}$時，取等號；
所以b的最小值為24-16$\sqrt{2}$．
答：要使接下來的2天中，營養(yǎng)液能夠持續(xù)有效，b的最小值為24-16$\sqrt{2}$．

點評 本題考查函數模型在實際問題中的運用，考查函數的最值求法，注意運用基本不等式，考查運算能力，屬于中檔題．