Question

19．已知A（0，a），B（0，b），（0＜a＜b），在x軸的正半軸上求點C，使∠ACB最大，并求出最大角的余弦值．

Answer 1

分析 根據(jù)題目所給的條件，用直線和圓的位置關系，確定點的位置，由正弦定理得，當圓與X軸相切時，要求的角最大，寫出角的正切值，不是特殊角，用反三角函數(shù)來表示．

解答 解：設點C的坐標是（x，0），在三角形ABC中，根據(jù)正弦定理知：
sin∠ACB=$\frac{b-a}{2R}$，其中R是三角形ABC外接圓的半徑．
故當R最小時，角∠ACB最大．
在過A與B定點的圓中當且僅當C是圓與x軸相切時，半徑最小，
∴切點C即為所求，由切割線定理知OC²=OA•OB=ab，
∴OC=$\sqrt{ab}$，即點C坐標為（$\sqrt{ab}$，0）時，K_AC=$\frac{a-0}{0-\sqrt{ab}}$=-$\frac{a}{\sqrt{ab}}$=-$\sqrt{\frac{a}}$，K_BC=$\frac{b-0}{0-\sqrt{ab}}$=-$\sqrt{\frac{a}}$，
∠ACB可以認為是直線BC到直線AC的角，tan∠ACB=$\frac{{K}_{AC}{-K}_{BC}}{1{+K}_{AC}{•K}_{BC}}$=$\frac{b-a}{2\sqrt{ab}}$，
即∠ACB=arctan$\frac{b-a}{2\sqrt{ab}}$．

點評 認識向量的代數(shù)特性．向量的坐標表示，實現(xiàn)了“形”與“數(shù)”的互相轉化．以向量為工具，幾何問題可以代數(shù)化，代數(shù)問題可以幾何化，屬于中檔題．