Question

19．已知A（0，a），B（0，b），（0＜a＜b），在x軸的正半軸上求點(diǎn)C，使∠ACB最大，并求出最大角的余弦值．

Answer 1

分析 根據(jù)題目所給的條件，用直線和圓的位置關(guān)系，確定點(diǎn)的位置，由正弦定理得，當(dāng)圓與X軸相切時(shí)，要求的角最大，寫出角的正切值，不是特殊角，用反三角函數(shù)來表示．

解答 解：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（x，0），在三角形ABC中，根據(jù)正弦定理知：
sin∠ACB=$\frac{b-a}{2R}$，其中R是三角形ABC外接圓的半徑．
故當(dāng)R最小時(shí)，角∠ACB最大．
在過A與B定點(diǎn)的圓中當(dāng)且僅當(dāng)C是圓與x軸相切時(shí)，半徑最小，
∴切點(diǎn)C即為所求，由切割線定理知OC²=OA•OB=ab，
∴OC=$\sqrt{ab}$，即點(diǎn)C坐標(biāo)為（$\sqrt{ab}$，0）時(shí)，K_AC=$\frac{a-0}{0-\sqrt{ab}}$=-$\frac{a}{\sqrt{ab}}$=-$\sqrt{\frac{a}}$，K_BC=$\frac{b-0}{0-\sqrt{ab}}$=-$\sqrt{\frac{a}}$，
∠ACB可以認(rèn)為是直線BC到直線AC的角，tan∠ACB=$\frac{{K}_{AC}{-K}_{BC}}{1{+K}_{AC}{•K}_{BC}}$=$\frac{b-a}{2\sqrt{ab}}$，
即∠ACB=arctan$\frac{b-a}{2\sqrt{ab}}$．

點(diǎn)評(píng) 認(rèn)識(shí)向量的代數(shù)特性．向量的坐標(biāo)表示，實(shí)現(xiàn)了“形”與“數(shù)”的互相轉(zhuǎn)化．以向量為工具，幾何問題可以代數(shù)化，代數(shù)問題可以幾何化，屬于中檔題．