Question

9．設(shè)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是不共線的兩個(gè)非零向量．
（2）若$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OB}$=3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$，求證：A，B，C三點(diǎn)共線；
（2）若$\overrightarrow{a}$=（-1，1），$\overrightarrow$=（2，1），t∈R，|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用向量共線定理即可得出．
（2）利用向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OB}$=3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$，
設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$x\overrightarrow{OB}+y\overrightarrow{OC}$，
∴2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=x（3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）+y（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$），
整理為：（2-3x-y）$\overrightarrow{a}$+（-1-x+3y）$\overrightarrow$=$\overrightarrow{0}$，
∵$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是不共線的兩個(gè)非零向量，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2-3x-y=0}\\{-1-x+3y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
∴$\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$，
∴A，B，C三點(diǎn)共線．
（2）∵$\overrightarrow{a}$=（-1，1），$\overrightarrow$=（2，1），t∈R，
∴$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$=（-1+2t，1+t）．
|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$|=$\sqrt{（-1+2t）^{2}+（1+t）^{2}}$=$\sqrt{5{t}^{2}+2t+2}$=$\sqrt{5（t+\frac{1}{5}）^{2}+\frac{9}{5}}$≥$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．當(dāng)t=-$\frac{1}{5}$時(shí)，取等號(hào)．
∴|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$|的最小值是$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量共線定理、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．