Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線(xiàn)的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為實(shí)數(shù)），直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于 兩點(diǎn).

（1）若，求的長(zhǎng)度；

（2）當(dāng)面積取得最大值時(shí)（為原點(diǎn)），求的值.

Answer 1

【答案】(1)；(2)0.

【解析】試題分析：（1）聯(lián)立直線(xiàn)的參數(shù)方程和曲線(xiàn)，根據(jù)弦長(zhǎng)公式可求解；（2）點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則，若要面積取得最大值，則，可求得參數(shù)值，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo).

解析：

（1）由（為參數(shù)），

可得曲線(xiàn)的普通方程為.

由直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

可知直線(xiàn)的普通方程為.

由得，，.

故，

所以的長(zhǎng)度.

（2）由直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為實(shí)數(shù)），

可知直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，

經(jīng)驗(yàn)證該點(diǎn)在橢圓上，

不妨設(shè)為點(diǎn)，則直線(xiàn)的方程為.

設(shè)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，

則.

若要面積取得最大值，

則，

得，，，.

此時(shí)或.

將代入直線(xiàn)的參數(shù)方程為，解得.

將代入直線(xiàn)的參數(shù)方程為，解得不存在.

所以.