Question

已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)0＜L＜1時(shí)，對(duì)于任意x₁，x₂∈R，|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|都成立，數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n），n=1，2，…
（1）證明：；
（2）令．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)閍_n+1=f（a_n），當(dāng)n≥2時(shí)，|a_n-a_n+1|=|f（a_n-1）-f（a_n）|≤L|a_n-1-a_n|=L|f（a_n-2）-f（a_n-1）|≤L²|a_n-2-a_n-1|≤…≤L^n-1|a₁-a₂|．所以=|a₁-a₂|+|a₂-a₃|+…+|a_n-a_n+1|≤（1+L+L²+…+L^n-1）|a₁-a₂|，由此能夠證明．
（2）由A，知=．因?yàn)閍_n+1=f（a_n），n=1，2，…，
故當(dāng)n≥2時(shí)，|a_n-a_n+1|=|f（a_n-1）-f（a_n）|≤L|a_n-1-a_n|=L|f（a_n-2）-f（a_n-1）|≤L²|a_n-2-a_n-1|≤…≤L^n-1|a₁-a₂|，所以．由A_k=，≤|．+…+k|a_k-a_k+1|．所以+…+|A_n-A_n+1|≤．
解答：（1）證明：∵a_n+1=f（a_n），n=1，2，3，…，
故當(dāng)n≥2時(shí)，|a_n-a_n+1|=|f（a_n-1）-f（a_n）|≤L|a_n-1-a_n|
=L|f（a_n-2）-f（a_n-1）|≤L²|a_n-2-a_n-1|
≤…≤L^n-1|a₁-a₂|．
∴=|a₁-a₂|+|a₂-a₃|+…+|a_n-a_n+1|
≤（1+L+L²+…+L^n-1）|a₁-a₂|
=．
∵0＜L＜1，
∴；
（當(dāng)n=1時(shí)，不等式也成立．）
（2）證明：∵A，
∴
=．
①∵a_n+1=f（a_n），n=1，2，…，
故當(dāng)n≥2時(shí)，|a_n-a_n+1|=|f（a_n-1）-f（a_n）|≤L|a_n-1-a_n|=L|f（a_n-2）-f（a_n-1）|
≤L²|a_n-2-a_n-1|≤…≤L^n-1|a₁-a₂|
．…6分
∴
≤（1+L+L²+…+L^n-1）|a₁-a₂|…7分
=|．…8分
∵0＜L＜1，
∴（當(dāng)n=1時(shí)，不等式也成立）．…9分
②∵A_k=，
∴|

=|
=|

≤． …11分
∴




=

≤|a₁-a₂|+|a₂-a₃|+…+|a_n-a_n+1|≤|．…14分
+…+k|a_k-a_k+1|，
∴+…+|A_n-A_n+1|
≤
+3+…+n
=++…+
≤|a₁-a₂|+|a₂-a₃|+…+|a_n-a_n+1|
≤．
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式和函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，計(jì)算繁瑣，容易出錯(cuò)，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)認(rèn)真審題，要注意計(jì)算能力的培養(yǎng)．