Question

（2012•瀘州一模）如圖，A是單位圓與x軸正半軸的交點，點B、P在單位圓上，且B(-

3

5

，

4

5

)，∠AOB=α．
（Ⅰ）求

4cosα-2sinα

5cosα+3sinα

的值；
（Ⅱ）令∠AOP=θ（0＜θ＜π），

OQ

=

OA

+

OP

，四邊形OAQP的面積為S，f(θ)=(

OA

•

OQ

-1)S+S2，求f（θ）的最大值及此時θ的值．

Answer 1

分析：（I）由∠AOB=α可得α的終邊與單位圓交于點B（-

3

5

，

4

5

），根據(jù)三角函數(shù)的定義，可求出α的正切值，進而利用弦化切技巧可求出

4cosα-2sinα

5cosα+3sinα

的值．
（Ⅱ）由條件可得OAQP為平行四邊形，它的面積S=2S_△AOP=sinθ，化簡函數(shù)f（θ）的解析式為

2

2

sin（2θ-

π

4

）+1，由此根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（θ）的最大值及此時θ的值．

解答：解：（I）∵∠AOB=α，∴α的終邊與單位圓交于點B（-

3

5

，

4

5

），∴tanα=

y

x

=

4 5

- 3 5

=-

4

3

．
∴

4cosα-2sinα

5cosα+3sinα

=

4-2tanα

5+3tanα

=

4+ 8 3

5-4

=

20

3

．
（Ⅱ）∵∠AOP=θ（0＜θ＜π），

OQ

=

OA

+

OP

，故四邊形OAQP為平行四邊形，
∴四邊形OAQP的面積為S=2S_△AOP=2×

1

2

×1×1sinθ=sinθ．
∵A（1 0），P（cosθ，sinθ），
∴

OA

•

OQ

=

OA

•(

OA

+

OP

)=

OA

2+

OA

•

OP

=1+cosθ．
∴f(θ)=(

OA

•

OQ

-1)S+S2=cosθ•sinθ+sin²θ=

1

2

sin2θ+

1-cos2θ

2

=

2

2

sin（2θ-

π

4

）+1，
∴當(dāng) sin（2θ-

π

4

）=1，即 2θ-

π

4

=

π

2

時，即 θ=

3π

8

時，函數(shù)f（θ）取得最大值為

2 +1

2

．

點評：本題考查的知識點是任意角的三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角函數(shù)的最值，熟練掌握三角函數(shù)的定義及性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，屬于中檔題．