Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)，取得極小值；當(dāng)時(shí)，取得極大值；（2）見解析．

【解析】【試題分析】(1)當(dāng)時(shí),利用導(dǎo)數(shù)寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求得函數(shù)的極值.(2)當(dāng)時(shí),化簡原不等式得,分別利用導(dǎo)數(shù)求得左邊對(duì)應(yīng)函數(shù)的最小值,和右邊對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值, 最小值大于最大值,即可證明原不等式成立.

【試題解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，

，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．

所以，當(dāng)，取得極小值；

當(dāng)時(shí)，取得極大值．

（2）證明：當(dāng)時(shí)，，，

所以不等式可變?yōu)?/span>．

要證明上述不等式成立，即證明．

設(shè)，則，

令，得，

在上，，是減函數(shù)；

在上，，是增函數(shù)．

所以．

令，則，

在上，，是增函數(shù)；在上，，是減函數(shù)，

所以，

所以，即，即，

由此可知．