Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且滿足f（x+2）=-f（x）．若f（x）為奇函數(shù)，且當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=

1

2

x，求使f（x）=-

1

2

在[0，2 014]上的所有x的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可知f（x+4）=f（x），依題意求出f（x）在[-1，3）上的解析式，進(jìn)而求出f（x）=-

1

2

時(shí)x的值．再根據(jù)函數(shù)的周期性求出在[0，2014]上的所有x的個(gè)數(shù)．

解答： 解：：（1）證明：∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=f（x+2+2）=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是以4為周期的函數(shù)．
（2）當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=

1

2

x，設(shè)-1≤x≤0，則0≤-x≤1，∴f（-x）=

1

2

（-x）=-

1

2

x．
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），∴-f（x）=-

1

2

x，即f（x）=

1

2

x，故 f（x）=

1

2

x（-1≤x≤1）．
又設(shè)1＜x＜3，則-1＜x-2＜1，∴f（x-2）=

1

2

（x-2），
又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f[（-x）+2]=-[-f（-x）]=-f（x），
∴-f（x）=

1

2

（x-2），∴f（x）=-

1

2

（x-2）（1＜x＜3）．
∴f（x）=

1 2 x，-1≤x≤1 - 1 2 (x-2)，1＜x＜3

，由f（x）=-

1

2

，解得x=-1．
∵f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．故f（x）=-

1

2

的所有x=4n-1（n∈Z）．令0≤4n-1≤2014，則

1

4

≤n≤

2015

4

，
又∵n∈Z，∴1≤n≤503（n∈Z），
∴在[0，2014]上共有503個(gè)x使f（x）=-

1

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的周期性，求函數(shù)的解析式，在解題的時(shí)候，要注意函數(shù)在不同區(qū)間上不同的解析式，這是容易出錯(cuò)的地方，屬于基礎(chǔ)題．