Question

已知函數(shù)．
（1）若對(duì)于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若f（x）的最小值為-2，求實(shí)數(shù)k的值；
（3）若對(duì)任意的x₁，x₂，x₃∈R，均存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）為三邊長(zhǎng)的三角形，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）問(wèn)題等價(jià)于4^x+k•2^x+1＞0恒成立，分離出參數(shù)k后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題即可；
（2），令，則，分k＞1，k=1，k＜1三種情況進(jìn)行討論求出f（x）的最小值，令其為-2即可解得k值；
（3）由題意，f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）對(duì)任意x₁，x₂，x₃∈R恒成立．當(dāng)k=1時(shí)易判斷；當(dāng)k＞1，k＜1時(shí)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題解決即可，借助（2）問(wèn)結(jié)論易求函數(shù)的最值；
解答：解：（1）因?yàn)?^x+2^x+1＞0，所以f（x）＞0恒成立，等價(jià)于4^x+k•2^x+1＞0恒成立，即k＞-2^x-2^-x恒成立，
因?yàn)?2^x-2^-x=-（2^x+2^-x）≤-2，當(dāng)且僅當(dāng)2^x=2^-x即x=0時(shí)取等號(hào)，
所以k＞-2；
（2），
令，則，
當(dāng)k＞1時(shí)，無(wú)最小值，舍去；
當(dāng)k=1時(shí)，y=1最小值不是-2，舍去；
當(dāng)k＜1時(shí)，，最小值為，
綜上所述，k=-8．
（3）由題意，f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）對(duì)任意x₁，x₂，x₃∈R恒成立．
當(dāng)k＞1時(shí)，因且，
故，即1＜k≤4；
當(dāng)k=1時(shí)，f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=1，滿足條件；
當(dāng)k＜1時(shí)，且，故，解得；
綜上所述，
點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)恒成立、函數(shù)最值等問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，綜合性較強(qiáng)，難度較大．