Question

已知函數(shù)f（x）=（2log₄x-2）（log₄x-

1

2

）．
（1）當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，求該函數(shù)的值域；
（2）若f（x）≥mlog₄x對(duì)于x∈[4，16]恒成立，求m有取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，通過(guò)換元法以及x∈[2，4]時(shí)，給出新元的范圍，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上求解該函數(shù)的值域；
（2）f（x）≥mlog₄x轉(zhuǎn)化為，m≤2t+

1

t

-3對(duì)于t∈[1，2]恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值；

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=（2log₄x-2）•（log₄x-

1

2

）=2（log₄x）²-3log₄x+1，
令t=log₄x，x∈[2，4]⇒t∈[

1

2

，1]，
∴y=2t²-3t+1，對(duì)稱軸t=

3

4

∈[

1

2

，1]，
當(dāng)t=

3

4

時(shí)，取得最小值：-

1

8

；t=1函數(shù)取得最大值：0．
∴y∈[-

1

8

，0]．
（2）∵f（x）≥mlog₄x對(duì)于x∈[4，16]恒成立，
由（1）得2t²-3t+1≥mt對(duì)于t∈[1，2]恒成立，
∴m≤2t+

1

t

-3對(duì)于t∈[1，2]恒成立，
令g（t）=2t+

1

t

-3，t∈[1，2]
∴g′（t）=2-

1

t2

=

2t2-1

t2

＞0，
∴函數(shù)g（t）在[1，2]單調(diào)遞增，
∴g（t）_min=g（1）=0，
∴m≤0，
故m的取值范圍為（-∞，0]

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的最值，換元法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．